好久没更新博客了，在安富莱论坛里写过一篇《相轨迹法判断步态的导读》。

最近还看了一篇霍尔前馈加观测器的论文，但是懒得整理成文字了。

之前想用费曼学习法来巩固知识，目前信号与系统和自控部分看了差不多了。但是没有写博客了。感觉详细的写特别累。我不应该把文字的受众假定为零基础的，应该假定为一个月前的自己。

不再打算输出完整的某个系列的课程了，如果有自己不懂的知识点，写小文章来分享吧。未来如果有大片的空白时间，或者复习的时候再对它们做汇总。

今天让AI帮我重构代码。

我已经实现了功能里，让它重构后，我直接运行功能没了..

然后我现在自己古法编程手敲

如题所示本人更新了一下后台，但是貌似默认所有文章都开启了AI总结的功能，哪怕我并没有设置API。

另外在AI的帮助下，感觉对电机控制慢慢有了一定的理解了。

换了公司之后，目前在一家很小的小公司上班了

大概花了三个月(12月到2月) 把手头上的项目嵌入式软件部分写完了（项目排期是到9月份完毕）

除去留给生产的时间，领导预计是4月份完成嵌入式软件功能部分。（注：领导只想完成功能）

我这算是大大提前了。

目前卡在OTA、产测部分代码。

由于人员紧张，OTA部分需要APP组同事协助我。（APP开发一个安卓板，和我的MCU用USB连接）

但是有一个更加紧急的项目在4月1号开发布会，所以年后的到4月为止，我们公司所有资源都为它服务。

而我一个人无法完成OTA和产测联调，只能先写好我这部分的。

所以我现在有好几个月的空闲时间。（上班摸鱼ing）

第一步：什么是极点？

假设一个系统的传递函数是 $G(s) = \frac{1}{s - p}$。这里的 $p$ 就是极点（让分母为 0 的点）。

第二步：回到时间轴（拉普拉斯逆变换）

我们在数学上知道， $\frac{1}{s - p}$ 在时间域上对应的函数是 $e^{pt}$。

• 这个 $e^{pt}$ 描述了系统受到扰动后，自己“乱动”的规律（天然反应）。

第三步：看p的正负（复平面的左与右）

极点 $p$ 通常是一个复数，可以写成 $p = \sigma + j\omega$（ $\sigma$ 是实部， $\omega$ 是虚部）。那么： $e^{pt} = e^{(\sigma + j\omega)t} = \mathbf{e^{\sigma t}} \cdot e^{j\omega t}$

• 如果极点在左半平面 ( $\sigma < 0$)： $e^{\sigma t}$ 是一个指数衰减项（例如 $e^{-2t}$）。随着时间 $t$ 变大，这个值会趋于 0。

  • 结论： 扰动消失了，系统回到了平衡点 —— 稳定。

• 如果极点在右半平面 ( $\sigma > 0$)： $e^{\sigma t}$ 是一个指数爆炸项（例如 $e^{2t}$）。随着时间 $t$ 变大，这个值会趋于 无穷大。

  • 结论： 扰动被无限放大，系统炸了 —— 不稳定。

• 虚部 $\omega$ 是干什么的？ $e^{j\omega t}$ 代表振荡（波浪线）。所以如果极点有虚部，系统就会一边衰减一边摆动。

CherryUSB协议栈学习使用

基于STM320B1使用CherryUSB协议栈来做虚拟串口。这个协议栈是中国人自己写的一个USB协议栈，据说比STM32自带的好用。

之前作为螺丝钉，项目的芯片选型，技术选型一直不受我的控制。加入新公司之后，因为新公司人比较少，甚至没有产品经理，所以从硬件选型到技术选型都由我自己设计了。

于是我觉得项目中80%用旧技术，20%用新技术，也算是一种学习。如果实在搞不定，就在硬件上加一个TLL to USB的芯片。

一、对于USB IP的理解

这款USB协议栈是基于USB的IP核所设计的，可以从它的port文件夹内看到支持的IP类型。它的适配是比较全的，基本上市面上常有的芯片都有支持。

因为IP核设计是比较困难的，需要设计出符合规范的IP核需要一个庞大的IC团队，其中Synopsys的dwc2这款IP核是经过无数芯片验证的。

早年间ST也自己设计过自己的IP核fsdev(应用在F1,F0等一些低端的芯片上)，但是不支持HOST。

在高端芯片上，ST采取了支付授权费的方式，采用了dwc2的IP核。

我们国产的很多芯片例如GD32,AT32,HC32也是采用支付授权费的方式，使用dwc2这款IP核。

usb_dc_xxx.c 是芯片所对应不同ip和的驱动，对不同的IP抽象出了统一的接口。

本次使用的单片机为STM32G0系列，可以通过阅读数据手册，对比寄存器来判断到底用的是哪个IP核。如果寄存器中有USB_CNTR，USB_ISTR，USB_EPnR字样，说明这个IP核是ST自研的fsdev。

根据上面的分析，将port\fsdev中的文件加入工程。其中usb_glue_st是针对STM32CubeMX生成的代码所设计的胶水层。

我的工程中没有用CubeMX生成代码，自然也没有里面使用到的HAL库的API接口。所以需要自己实现以下函数：

//初始化USB
void usb_dc_low_level_init(uint8_t busid)
{
}
//反初始化USB
void usb_dc_low_level_deinit(uint8_t busid)
{
}

并且在USB中断中调用

// 这里输入的参数（也就是busid）是usb接口的文件描述符。用于区分不同的USB
USBD_IRQHandler(0);

二、USB的类型

USB控制器有三种类型：

从机是被控方，主机是控制方，OTG是既是从机也是主机的设备

在core目录下有着usbd_core、usbh_core和usbotg_core三个文件。

从名字就能看出来对应device，host和otg三种设备。

我这儿用到的从机，也就是device。

从机：例如单片机当U盘。

主机：例如读取U盘的单片机。

OTG：通过ID线切换角色，或者通过type-c的cc线协议切换。我没用过

三、USB的Class

在USB出现前，每个硬件厂商都要为自己的设备写一个Windows驱动程序。用户买个鼠标还需要先从软盘装驱动，非常的痛苦。

USB Class本质上是一套标准化的沟通协议。

USB组织规定：所有的鼠标键盘都按HID Class说话。所有的U盘都按MSC Class说话。所有的摄像头都按 UVC Class说话。

这样的结果就是windows只需要内置几种通用的驱动，就能驱动世界上好几亿的设备。实现了免驱。

进阶：还有一种复合设备，例如4G模组，你插入后，它既是网卡又是串口还是U盘。这个就是定义了多个interface，每个interface声明不同的Class。

这样子相当于在usbd_core，用户应用层之间还有一个中间层。

CherryUSB实现了许多常用的Class，本次使用的虚拟串口。将class/usbd_cdc_acm.c代码加入即可。

四、初始化的伪代码

/*
 * Copyright (c) 2025 by Lu Xianfan.
 * @FilePath     : app_usb_cdc.c
 * @Author       : lxf
 * @Date         : 2025-01-20 10:00:00
 * @LastEditors  : lxf_zjnb@qq.com
 * @LastEditTime : 2026-01-21 16:00:00
 * @Brief        : USB CDC (虚拟串口) 应用层
 * @usage       :
 * @code
 *     app_usb_cdc_init();
 *     while (1) {
 *         app_usb_cdc_poll();
 *     }
 * @endcode
 */

/*---------- includes ----------*/
#include "app_main.h"
#include "usbd_core.h"
#include "usbd_cdc.h"
/*---------- macro ----------*/

/* USB配置描述符总长度 = 配置描述符(9) + CDC描述符(67) */
#define USB_CONFIG_SIZE (9 + CDC_ACM_DESCRIPTOR_LEN)

/* CDC最大包大小 (Full Speed) */
#define CDC_MAX_MPS     CONFIG_USB_CDC_MAX_MPS

/* CDC端点定义 */
#define CDC_IN_EP       0x81
#define CDC_OUT_EP      0x02
#define CDC_INT_EP      0x83

/*---------- type define ----------*/
/*---------- variable prototype ----------*/

/*---------- function prototype ----------*/
static const uint8_t *device_descriptor_callback(uint8_t speed);
static const uint8_t *config_descriptor_callback(uint8_t speed);
static const uint8_t *device_quality_descriptor_callback(uint8_t speed);
static const char *string_descriptor_callback(uint8_t speed, uint8_t index);
static void usbd_event_handler(uint8_t busid, uint8_t event);

/*---------- variable ----------*/

/* CDC端点结构体 */
static struct usbd_endpoint cdc_in_ep = {
    .ep_addr = CDC_IN_EP,
    .ep_cb    = NULL
};

static struct usbd_endpoint cdc_out_ep = {
    .ep_addr = CDC_OUT_EP,
    .ep_cb    = NULL
};

static struct usbd_endpoint cdc_int_ep = {
    .ep_addr = CDC_INT_EP,
    .ep_cb    = NULL
};

/* CDC接口 (需要2个接口：通信控制接口 + 数据接口) */
static struct usbd_interface intf0;
static struct usbd_interface intf1;

struct usb_descriptor cdc_descriptor = {
    .device_descriptor_callback = device_descriptor_callback,
    .config_descriptor_callback = config_descriptor_callback,
    .device_quality_descriptor_callback = device_quality_descriptor_callback,
    .string_descriptor_callback = string_descriptor_callback
};
/*---------- function ----------*/
/* USB 设备描述符 (18字节) */
static const uint8_t device_descriptor[] = {
    USB_DEVICE_DESCRIPTOR_INIT(
        USB_2_0,  /* bcdUSB: USB 2.0 */
        0xEF,     /* bDeviceClass: 0xEF (Miscellaneous) 用于复合设备或IAD */
        0x02,     /* bDeviceSubClass: 0x02 (Common) */
        0x01,     /* bDeviceProtocol: 0x01 (IAD) */
        USBD_VID, /* idVendor: VID */
        USBD_PID, /* idProduct: PID */
        0x0100,   /* bcdDevice: V1.00 */
        0x01      /* bNumConfigurations: 1个配置 */
        )
};

static const uint8_t config_descriptor[] = {
    USB_CONFIG_DESCRIPTOR_INIT(USB_CONFIG_SIZE, 0x02, 0x01, USB_CONFIG_BUS_POWERED, USBD_MAX_POWER),
    CDC_ACM_DESCRIPTOR_INIT(0x00, CDC_INT_EP, CDC_OUT_EP, CDC_IN_EP, CDC_MAX_MPS, 0x02)
};

static const char *string_descriptors[] = {
    (const char[]){ 0x09, 0x04 }, /* Langid */
    USBD_MANUFACTURER_STRING,     /* Manufacturer */
    USBD_PRODUCT_STRING,          /* Product */
    USBD_SERIAL_STRING,           /* Serial Number */
};

static const uint8_t *device_descriptor_callback(uint8_t speed)
{
    return device_descriptor;
}

static const uint8_t *config_descriptor_callback(uint8_t speed)
{
    return config_descriptor;
}

static const uint8_t *device_quality_descriptor_callback(uint8_t speed)
{
    return NULL;
}

static const char *string_descriptor_callback(uint8_t speed, uint8_t index)
{
    if (index > 3) {
        return NULL;
    }
    return string_descriptors[index];
}

static void usbd_event_handler(uint8_t busid, uint8_t event)
{
    switch (event) {
        case USBD_EVENT_RESET:
            break;
        case USBD_EVENT_CONNECTED:
            break;
        case USBD_EVENT_DISCONNECTED:
            break;
        case USBD_EVENT_RESUME:
            break;
        case USBD_EVENT_SUSPEND:
            break;
        case USBD_EVENT_CONFIGURED:
            // USB配置完成，可以开始传输数据
            // ep_tx_busy_flag = false;
            /* setup first out ep read transfer */
            // usbd_ep_start_read(busid, CDC_OUT_EP, read_buffer, 2048);
            break;
        case USBD_EVENT_SET_REMOTE_WAKEUP:
            break;
        case USBD_EVENT_CLR_REMOTE_WAKEUP:
            break;

        default:
            break;
    }
}

/**
 * @brief  USB CDC 初始化
 * @return 0=成功, <0=失败
 */
int app_usb_cdc_init(void)
{
    /* 1. 注册描述符 */
    usbd_desc_register(0, &cdc_descriptor);

    /* 2. 添加CDC接口 (2个接口：通信控制接口 + 数据接口) */
    usbd_add_interface(0, usbd_cdc_acm_init_intf(0, &intf0));
    usbd_add_interface(0, usbd_cdc_acm_init_intf(0, &intf1));

    /* 3. 添加端点 (OUT + IN + INT) */
    usbd_add_endpoint(0, &cdc_out_ep);
    usbd_add_endpoint(0, &cdc_in_ep);
    usbd_add_endpoint(0, &cdc_int_ep);

    /* 4. 初始化USB设备栈 */
    usbd_initialize(0, USB_BASE, usbd_event_handler);

    return 0;
}
/*---------- end of file ----------*/

五、调试

一直去发现进不了中断。

最后在群里询问CherryUSB的作者。群主说是不支持G0。

调试结束 OVER

最后使用了ST的官方库实现了USB CDC的功能，

腾讯推出IMA知识库。

沛公舞剑，意在项庄啊！

各行各业的人如果真的去使用这个知识库记录知识的话，能够提供高质量数据的话，未来这笔数据资产的价值就是无价的。

不过看看现在的Claude code，看看前端行业。

程序员开源的下场你们已经看到了，你们又该何去何从

STM32G0B1系列的单片机，使用软件RS485通信。频繁进入HAL_UART_ErrorCallback。

因为在错误回调中做过清错误的处理，一直都功能正常，直到今天偶然间才发现这个问题。

错误寄存器显示ORE，NE，FE，PE错误，ORE为溢出错误，NE/FE为噪声错误/帧错误。

初步判定我的软件485收发切换不及时导致。

折腾了一天，测试结果现象如下：

1.发现问题之后，我怀疑我自己封装的驱动调用路径太长。所以用CubeMX新建了一个工程，新工程中没有复现该现象。我理解为现在STM32的HAL库中，提供的HAL_UART_TxCpltCallback就是说明TC中断触发，所以在里面切换为接收模式。在发送前切换为发送模式。

2.把CubeMX的收发方式移植到我的工程中，问题依旧。

3.注释掉其他代码，问题解决。

4.检查HAL库代码，感觉没什么问题。将工程的485改成硬件485问题解决。

5.使用-O0和-Ofast编译，进入错误中断的频率明显是-O0高很多。

现在疑惑：

我如下这样方式使用串口，加上自己的逻辑后，为什么会导致收发切换来不及？从而进入串口错误回调函数。

/**
 * @brief UART发送完成回调函数
 * @note  当一包数据发送完成时调用，用于RS485切换回接收模式
 */
void HAL_UART_TxCpltCallback(UART_HandleTypeDef *huart)
{
    if (huart == &huart1) {
        HAL_GPIO_WritePin(GPIOA, GPIO_PIN_7, GPIO_PIN_RESET);
    } else if (huart == &huart2) {
    } else if (huart == &huart3) {
    }
}

void HAL_UARTEx_RxEventCallback(UART_HandleTypeDef *huart, uint16_t Size)
{
    if (huart->Instance == USART1)
    {
        HAL_UARTEx_ReceiveToIdle_IT(&huart1, rx_buffer1, RX_BUF_SIZE);
    }
}

int main(void)
{
  ...
  while (1)
  {
    HAL_GPIO_WritePin(GPIOA, GPIO_PIN_7, GPIO_PIN_SET);
    uint8_t cmd = 0x02;
    HAL_UART_Transmit_IT(&huart1, &cmd, 1);
    HAL_Delay(10);
  }
}

虽然改成硬件485之后得以解决。但是还是没想通为啥。

2026年1月20日更新：

这个485口不复现这个情况了。但是发现上了24V供电后，另外一个传感器复现了。

目前板子用杜邦线连接的，怀疑是这个问题导致的。

博客：shiro

症状：前台访问502 Bad Gateway，后台可以正常登陆

https://chat.deepseek.com/share/6p59zrneqgbe0gur0k

1.提供给AI构建脚本

name: Build and Deploy

on:
  push:
    branches:
      - main
  # schedule:
  #   - cron: '0 3 * * *'

  repository_dispatch:
    types: [trigger-workflow]

permissions: write-all
concurrency:
  group: ${{ github.workflow }}-${{ github.ref }}
  cancel-in-progress: true

env:
  HASH_FILE: build_hash

jobs:
  prepare:
    name: Prepare
    runs-on: ubuntu-latest
    if: ${{ github.event.head_commit.message != 'Update hash file' }}

    outputs:
      hash_content: ${{ steps.read_hash.outputs.hash_content }}

    steps:
      - name: Checkout
        uses: actions/checkout@v4
      - name: Read HASH_FILE content
        id: read_hash
        run: |
          content=$(cat ${{ env.HASH_FILE }}) || true
          echo "hash_content=$content" >> "$GITHUB_OUTPUT"
  check:
    name: Check Should Rebuild
    runs-on: ubuntu-latest
    needs: prepare
    outputs:
      canceled: ${{ steps.use_content.outputs.canceled }}

    steps:
      - uses: actions/checkout@v4
        with:
          repository: innei-dev/shiroi
          token: ${{ secrets.GH_PAT }} # `GH_PAT` is a secret that contains your PAT
          fetch-depth: 0
          lfs: true

      - name: Use content from prev job and compare
        id: use_content
        env:
          FILE_HASH: ${{ needs.prepare.outputs.hash_content }}
        run: |
          file_hash=$FILE_HASH
          current_hash=$(git rev-parse --short HEAD)
          echo "File Hash: $file_hash"
          echo "Current Git Hash: $current_hash"
          if [ "$file_hash" == "$current_hash" ]; then
            echo "Hashes match. Stopping workflow."
            echo "canceled=true" >> $GITHUB_OUTPUT
          else
            echo "Hashes do not match. Continuing workflow."
          fi
  build:
    name: Build artifact
    runs-on: ubuntu-latest
    needs: check
    if: ${{needs.check.outputs.canceled != 'true'}}

    strategy:
      matrix:
        node-version: [lts/*]
    outputs:
      sha_short: ${{ steps.store.outputs.sha_short }}
      branch: ${{ steps.store.outputs.branch }}
    steps:
      - uses: actions/checkout@v4
        with:
          repository: innei-dev/shiroi
          token: ${{ secrets.GH_PAT }} # `GH_PAT` is a secret that contains your PAT
          fetch-depth: 0
          lfs: true

      - name: Checkout LFS objects
        run: git lfs checkout
      - uses: pnpm/action-setup@v2

      - name: Use Node.js ${{ matrix.node-version }}
        uses: actions/setup-node@v4
        with:
          node-version: ${{ matrix.node-version }}
          cache: 'pnpm'
      - uses: jongwooo/next-cache@v1
      - name: Install dependencies
        run: pnpm install
      - name: Build project
        run: |
          sh ./ci-release-build.sh
      # - uses: actions/upload-artifact@v4
      #   with:
      #     name: dist
      #     path: assets/release.zip
      #     retention-days: 7
      - name: Cache Build Artifacts
        id: cache-primes
        uses: actions/cache/save@v4
        with:
          path: assets
          key: ${{ github.run_number }}-release

      - name: Store artifact commit version
        shell: bash
        id: store
        run: |
          sha_short=$(git rev-parse --short HEAD)
          branch_name=$(git rev-parse --abbrev-ref HEAD)
          echo "sha_short=$sha_short" >> "$GITHUB_OUTPUT"
          echo "branch=$branch_name" >> "$GITHUB_OUTPUT"
  deploy:
    name: Deploy artifact
    runs-on: ubuntu-latest
    needs: build
    steps:
      # - name: Download artifact
      #   uses: actions/download-artifact@v4
      #   with:
      #     name: dist

      - name: Restore cached Build Artifacts
        id: cache-primes-restore
        uses: actions/cache/restore@v4
        with:
          path: |
            assets
          key: ${{ github.run_number }}-release
      - name: Move assets to root
        run: mv assets/release.zip release.zip

      - name: copy file via ssh password
        uses: appleboy/scp-action@v0.1.7
        with:
          host: ${{ secrets.HOST }}
          username: ${{ secrets.USER }}
          password: ${{ secrets.PASSWORD }}
          key: ${{ secrets.KEY }}
          port: ${{ secrets.PORT }}
          source: 'release.zip'
          target: '/tmp/shiro'

      - name: Exec deploy script with SSH
        uses: appleboy/ssh-action@master

        with:
          command_timeout: 5m
          host: ${{ secrets.HOST }}
          username: ${{ secrets.USER }}
          password: ${{ secrets.PASSWORD }}
          key: ${{ secrets.KEY }}
          port: ${{ secrets.PORT }}
          script: |
            set -e
            source $HOME/.bashrc
            basedir=$HOME/shiro
            workdir=$basedir/${{ github.run_number }}
            mkdir -p $workdir
            mkdir -p $basedir/.cache
            mv /tmp/shiro/release.zip $workdir/release.zip
            rm -r /tmp/shiro
            cd $workdir
            unzip -qq -o $workdir/release.zip
            rm -rf $workdir/standalone/.env
            ln -s $HOME/shiro/.env $workdir/standalone/.env
            export NEXT_SHARP_PATH=$(npm root -g)/sharp
            # copy workdir ecosystem.config.js to basedir if not exists
            if [ ! -f $basedir/ecosystem.config.js ]; then
              cp $workdir/standalone/ecosystem.config.js $basedir/ecosystem.config.js
            fi
            # https://github.com/Unitech/pm2/issues/3054
            # symlink workdir node entry file to basedir
            ln -sf $workdir/standalone/server.js $basedir/server.js
            mkdir -p $workdir/standalone/.next
            rm -rf $workdir/standalone/.next/cache
            ln -sf $basedir/.cache $workdir/standalone/.next/cache
            cd $basedir
            pm2 reload ecosystem.config.js --update-env
            rm $workdir/release.zip
            pm2 save
            echo "Deployed successfully"
      - name: After deploy script
        run: |
          hash=${{ needs.build.outputs.sha_short }}
          # curl -X "POST" "https://mx.innei.in/api/v2/fn/shiro/new-version-hook" -H 'Content-Type: application/json' -d "{\"hash\": \"$hash\", \"key\": \"\"}"
          ${{ secrets.AFTER_DEPLOY_SCRIPT }}
  store:
    name: Store artifact commit version
    runs-on: ubuntu-latest
    needs: [deploy, build]
    steps:
      - name: Checkout
        uses: actions/checkout@v4
        with:
          persist-credentials: false # otherwise, the token used is the GITHUB_TOKEN, instead of your personal token
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      # Get the commit version from the build job
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AI告诉我这个是是用一个叫pm2的管理工作做进程守护的。最后执行的是下面这一条命令

pm2 start ecosystem.config.js

我执行完毕之后，启动失败。AI让我执行pm2 logs shiro --lines 50查看日志。

分析日志后，发现是2323端口号冲突

利用sudo lsof -i :2323查看对应端口进程，发现是docker-pr

我再查看了docker容器里对应进程运行的是什么？

docker ps --format "table {{.ID}}\t{{.Names}}\t{{.Ports}}" | grep 2323

发现居然也是一个shiro

可能是我之前布置的开源的用的容器，所以导致了这个现象。

关闭了之后，在运行pm2就好了。

websocket为什么不连接

配置时地址填错了。

傅里叶级数的前世今生

傅里叶变换应用在我们生活中的方方面面，它本身值的用“传奇”两个字来评价。

相信学习通信和自动化的朋友们，都能够领会到这个变换的强大之处。

它提供了一个全新的视角去理解这个世界——从“时域”到“频域”。

不过在最开始的时候，约瑟夫傅里叶创造它并不是为了纯数学的优雅，而是为了解决一个非常实际的热传导问题——如何精确地描述热量在物体（比如一块金属）中随时间扩散和分布的规律？

现在让我们把视角转到十九世纪，来回顾一下“傅里叶级数”的前世今生。（当然从级数到变换中间还有很长的路要走，这里从级数开始讲起）

1.热传导问题的核心是解一个偏微分方程

我们以一根细杆的一维热传导为例来介绍。设 $u(x,t)$ 表示在位置 $x$ 处、时间 $t$ 的温度，那么当时人们已经能够总结出基本的热传导方程如下所示：

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，

$u(x,0)=f(x)$，

求 $u(x,t)$

其中

$\frac{\partial u}{\partial t}$是温度对时间的一阶偏导数

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$是温度对空间的二阶偏导数

$k$是一个常数，代表热扩散率

已知初始时刻$t=0$的温度分布$u(x,0)=f(x)$，求任意$t$时间的任意$x$的温度$u(x,t)$：

这个热传导方程的难点就是不限制$f(x)$，对于给定一个任意的$f(x)$，都要求出$u(x,t)$。

像这样的偏导数求解，在傅里叶那个年代人类还从来没有遇到过，不知道怎么求解。

而傅里叶创造出傅里叶级数，就是为解这样的方程创造的一个工具。

基础补充:什么是偏导数：

考虑到有些朋友已经忘记偏导数是什么了。这里补充说明一下。如果对偏导数很熟悉的朋友可以跳过。

单变量场景-导数

首先我默认各位朋友知道什么是“导数”。导数就是瞬时变化率。以一辆汽车为例，假设任意 $t$ 时间的速度是$v(t)$，那么它的导数就是$v'(t)$速度的瞬时变化率，物理意义上就是加速度。

多变量场景-偏导数

如果速度和多个变量相关呢？

例如火箭发射中燃料不停的消耗，整个系统的质量$m$在不断的减少。在这个系统中，速度$v(m, t)$就和时间 $t$ ，质量 $m$ 两个参数相关了。

偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。

上述这个例子中就有两个偏导数：

$\frac{\partial v}{\partial t}$ 这表示：固定质量不变时，速度随时间的变化率（纯粹由于加速度引起的变化）

$\frac{\partial v}{\partial m}$这表示：固定时间不变时，速度随质量的变化率（质量减少对速度的影响）

2.如何解这个偏微分方程

2.1 当时人们对这个方程的认知

当时的人们对于

$$\begin{cases}

\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\
u(x,0)=u(x)\

\end{cases}$$

这个问题，十九世纪的人们已经有以下几点认知：

1. 如果 $u(x)= B$ ，那么 $u(x,t)= B$
2. 如果 $u(x)= Bcos(\omega x)$ ，那么 $u(x,t)=Bcos(\omega x)e^{-K {\omega}^2 t}$
3. 如果 $u(x)= Csin(\omega x)$ ，那么 $u(x,t)=Csin(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}$

这三个公式是当时的人们试凑出来的，我们把结论代回方程，也可以证明这三个式子成立

公式一验证

$u(x,t)= B$

求对t的一阶导数 $\frac{\partial u}{\partial t}$：因为B是一个常数，不随时间$t$变化，所以最后的结果为0

求对x的二阶导数$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$，因为B也不随空间$x$变化，所以左后结果为0。

可以得到 $\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$成立。

令$t=0$，求 $u(x,t)=B$： $u(x,0)=B=u(x)$

可以得到 $u(x,0)=u(x)$成立。

公式二验证

$u(x,t)=Bcos(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}$

求对t的一阶导数 $\frac{\partial u}{\partial t}$： $\frac{\partial u}{\partial t}= Bcos(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}(-K\omega^2)$

求对x的二阶导数$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$，方法为先求一阶导 $\frac{\partial u}{\partial x}$，再对 $\frac{\partial u}{\partial x}$求一次导得到二阶导 $\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$：

这里需要用复合函数求导的法则，因为是对x求导，所以 $e^{-k{\omega}^2 t}$看做是一个常数。

链式求导法则：1.先识别最外层函数，求导。2.再乘以内层函数的导数。3.如果嵌套，继续向内

$\frac{\partial u}{\partial x}=-Bsin(\omega x)e^{-k{\omega}^2 t}\omega$

再对 $x$做一阶导可得二阶导 ：

$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=-Bcos(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}\omega ^2$

可以得到 $\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$成立。

$u(x,t)=Bcos(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}$把初始条件$t=0代入$。

$u(x,0)=Bcos(\omega x) e^{-Kx{\omega}^2 *0}=Bcos(\omega t)e^0=Bcos(\omega t)$

所以 $u(x,0)=u(x)$成立。

公式三验证

$u(x,t)=Csin(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}$

求对t的一阶导数 $\frac{\partial u}{\partial t}$： $\frac{\partial u}{\partial t}= Ccos(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}(-K\omega^2)$

求对x的二阶导数 $\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$，方法为先求一阶导 $\frac{\partial u}{\partial x}$，再对 $\frac{\partial u}{\partial x}$求一次导得到二阶导 $\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$：

$\frac{\partial u}{\partial x}=Ccos(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}\omega$

再对$x$做一阶导可得二阶导 ：

$\frac{\partial u}{\partial x}=-Csin(\omega x)e^{-K{\omega}^2 t}\omega^2$

可以得到 $\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$成立。

同样再把初始条件$t=0代入$。

$u(x,0)=Csin(\omega x)$

所以 $u(x,0)=u(x)$成立。

3 傅里叶的假设

假设一：

$u\left( x \right) =B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right)}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega _0x \right)}$

这里往往称 $B{0}$为直流分量， $\omega{0}$为基波频率，而 $k\omega_{0}$为k次谐波频率。

那么热传导方程的解是下面这个公式：

$u\left( x,t \right) =B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right) e^{-{K\omega 0}^2t}}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega 0x \right) e^{-{K\omega _0}^2t}}$

NOTE

这里 $e^{-{K\omega _0}^2t}$上面是大K哦，和小k不是同一个，是一个系数。

假设二：

如果任意一个函数 $u\left( x \right)$都可以分解为 $B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0 \right)}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega _0 \right)}$。那就能找到任意函数的热传导方程的解。

在这里就把问题转化为——如何把一个函数 $u\left( x \right)$分解为 $B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0 x\right)}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega _0 x\right)}$这种形式

3.1 如何计算 $B_0$

$u\left( x \right) =B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0 x\right)}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega _0 x\right)}$

IMPORTANT

如何计算 $B_0$?两边同时积分：

$\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{f}\left( \mathrm{x} \right)}\mathrm{dx}=\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{B}0}\mathrm{dx}+\sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{B}{\mathrm{k}}\cos \left( \mathrm{k\omega}0 x\right)}}\mathrm{dx}+\sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{C}{\mathrm{k}}\sin \left( \mathrm{k\omega}_0 x \right)}}\mathrm{dx}$

然后可以证明：

$\sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{\mathrm{B}{\mathrm{k}}\cos \left( \mathrm{k\omega}_0x \right)}}\mathrm{dx}$=0;

$\sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{\mathrm{C}{\mathrm{k}}\sin \left( \mathrm{k\omega}_0 x\right)}}\mathrm{dx}$=0;

所以最后可以的到$B_0$

$B0=\frac{\int0^{T0}{u\left( \mathrm{x} \right)}\mathrm{dx}}{T0}$

3.1.1 如何证明 $ \sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{\mathrm{B}{\mathrm{k}}\cos \left( \mathrm{k\omega}_0 x\right)}}\mathrm{dx}=0 $

IMPORTANT

因为 $T_0$是基波周期，导致积分后的 $sin(2k\pi)$在k为正整数的时候一直为0

$\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{B}{\mathrm{k}}\cos \left( \mathrm{k\omega}0x \right)}\mathrm{dx} \ =Bk\left[ \frac{\sin \left( k\omega 0x \right)}{k\omega 0} \right] {0}^{\frac{2\pi}{\omega 0}} \ =Bk\left( \frac{\sin \left( k\omega 0\frac{2\pi}{\omega 0} \right)}{k\omega 0}-\frac{\sin \left( k\omega 0*0 \right)}{k\omega 0} \right) \ =Bk\left( \frac{\sin \left( 2\pi k \right)}{k\omega 0}-\frac{\sin \left( 0 \right)}{k\omega 0} \right) =B_k\left( 0-0 \right) =0$

所以最后它的级数 $\sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{B}{\mathrm{k}}\cos \left( \mathrm{k\omega}_0 x\right)}}\mathrm{dx}$也为0。

3.1.2 如何证明 $\sum{\mathrm{k}=1}^{+\infty}{\int0^T{\mathrm{C}{\mathrm{k}}\sin \left( \mathrm{k\omega}0 x\right)}}\mathrm{dx}=0$

$\int0^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}{\mathrm{C}{\mathrm{k}}\sin \left( \mathrm{k\omega}0x \right)}\mathrm{dx} \ =ck\left[ \frac{\cos \left( k\omega 0x \right)}{-k\omega 0} \right] {0}^{\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0}}=ck\left( \frac{\cos \left( k\omega 0\frac{2\mathrm{\pi}}{\mathrm{\omega}0} \right)}{-k\omega 0}-\frac{\cos \left( k\omega 00 \right)}{-k\omega 0} \right) \ =ck\left( \frac{\cos \left( 2k\mathrm{\pi} \right)}{-k\omega 0}-\frac{\cos \left( 0 \right)}{-k\omega 0} \right) =ck\left( \frac{1}{-k\omega 0}-\frac{1}{-k\omega _0} \right) =0$

3.2 如何计算 $B_k$

IMPORTANT

如何计算 $Bk$，两边同乘以 $\cos \left(a \omega 0x \right) $再做积分

$\int0^{T0}{u\left( x \right) \cos \left(a \omega 0x \right) dx}=\int0^{T0}{B0\cos \left( \omega 0x \right) dx}+\sum{k=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right) \cos \left( \omega 0x \right) dx}}+\sum{k=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{Ck\sin \left( k\omega 0x \right) \cos \left( \omega _0x \right) dx}}$

这里先假设以下这四个公式成立：

1. $\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x \right) \cos \left( k2\omega 0x \right) dx}=0$，前提条件$k1\neq k2$

2. $\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x \right) \sin \left( k2\omega 0x \right) dx}=0$，前提条件$k1\neq k2$

3. $\int0^{T0}{\cos ^2\left( k\omega 0x \right) dx}=\frac{T0}{2}$

4. $\int0^{T0}{\sin^2\left( k\omega 0x \right) dx}=\frac{T0}{2}$

那么上述式子可以得出：

$\int0^{T0}{u\left( x \right) \cos \left( a\omega 0x \right) dx}=\int0^{T0}{B0\cos \left( a\omega 0x \right) dx}+\sum{k=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right) \cos \left( a\omega 0x \right) dx}}+\sum{k=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{Ck\sin \left( k\omega 0x \right) \cos \left( a\omega 0x \right) dx}} \ \int0^{T0}{u\left( x \right) \cos \left( a\omega 0x \right) dx}=0+0+\frac{T0}{2}Ba+0=\frac{T0}{2}Ba \ Ba=\small{\frac{2}{T0}}\int0^{T0}{u\left( x \right) \cos \left( a\omega _0x \right) dx}$

也就是说 $Bk=\small{\frac{2}{T0}}\int0^{T0}{u\left( x \right) \cos \left( k\omega _0x \right) dx}$

IMPORTANT

这四个函数不难证明，只是繁琐而已。需要用到高中三角函数的几个公式。

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha +\beta \right) +\cos \left( \alpha -\beta \right) \right] $

$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right] $

$\cos ^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$

$\sin^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$

3.2.1 证明 $\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x \right) \cos \left( k2\omega 0x \right) dx}=0$，前提条件 $k1\neq k2$

IMPORTANT

利用 $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha +\beta \right) +\cos \left( \alpha -\beta \right) \right] $这个公式，以及 $sin2k \pi=0,cos2k\pi=1$的特性去求解即可。

$\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x \right) \cos \left( k2\omega 0x \right) dx} \ =\int0^{T0}{\frac{1}{2}\left[ \cos \left( k1\omega 0x+k2\omega 0x \right) +\cos \left( k1\omega 0x-k2\omega 0x \right) \right] dx} \ =\frac{1}{2}\left[ \int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x+k2\omega 0x \right) dx}+\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x-k2\omega 0x \right) dx} \right] \ =\frac{1}{2}\left[ \frac{\sin \left( k1\omega 0x+k2\omega 0x \right)}{k1\omega 0+k2\omega 0}\mid{0}^{T0}+\frac{\sin \left( k1\omega 0x-k2\omega 0x \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0}\mid{0}^{T0} \right] \ =\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\sin \left( k1\omega 0T0+k2\omega 0T0 \right)}{k1\omega 0+k2\omega 0}-\frac{\sin \left( k1\omega 00+k2\omega 00 \right)}{k1\omega 0+k2\omega 0} \right) +\left( \frac{\sin \left( k1\omega 0T0-k2\omega 0T0 \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0}-\frac{\sin \left( k1\omega 00-k2\omega 00 \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0} \right) \right] \ =\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\sin 2\left( k1+k2 \right) \pi}{k1\omega 0+k2\omega 0}-\frac{\sin \left( 0 \right)}{k1\omega 0+k2\omega 0} \right) +\left( \frac{\sin 2\left( k1-k2 \right) \pi}{k1\omega 0-k2\omega 0}-\frac{\sin \left( 0 \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0} \right) \right] =0$

3.2.2 证明 $\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x \right) \sin \left( k2\omega 0x \right) dx}=0$ ，前提条件 $k1\neq k2$

IMPORTANT

利用 $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right] $这个公式，以及 $sin2k \pi=0,cos2k\pi=1$的特性去求解即可。

$\int0^{T0}{\cos \left( k1\omega 0x \right) \sin \left( k2\omega 0x \right) dx} \ =\int0^{T0}{\frac{1}{2}\left[ \sin \left( k1\omega 0x+k2\omega 0x \right) -\sin \left( k1\omega 0x-k2\omega 0x \right) \right] dx} \ =\frac{1}{2}\left[ \frac{-\cos \left( k1\omega 0x+k2\omega 0x \right)}{k1\omega 0+k2\omega 0}\mid{0}^{T0}-\frac{-\cos \left( k1\omega 0x-k2\omega 0x \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0}\mid{0}^{T0} \right] \ =\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{-\cos \left( k1\omega 0T0+k2\omega 0T0 \right)}{k1\omega 0+k2\omega 0}-\frac{-\cos \left( k1\omega 00+k2\omega 00 \right)}{k1\omega 0x+k2\omega 0x} \right) -\left( \frac{-\cos \left( k1\omega 0T0-k2\omega 0T0 \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0}-\frac{-\cos \left( k1\omega 00-k2\omega 00 \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0} \right) \right] \ =\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{-\cos 2\left( k1+k2 \right) \pi}{k1\omega 0+k2\omega 0}-\frac{-\cos \left( 0 \right)}{k1\omega 0x+k2\omega 0x} \right) -\left( \frac{-\cos 2\left( k1-k2 \right) \pi}{k1\omega 0-k2\omega 0}-\frac{-\cos \left( 0 \right)}{k1\omega 0-k2\omega 0} \right) \right] \ =\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{-1}{k1\omega 0+k2\omega 0}-\frac{-1}{k1\omega 0x+k2\omega 0x} \right) -\left( \frac{-1}{k1\omega 0-k2\omega 0}-\frac{-1}{k1\omega 0-k2\omega 0} \right) \right] =0$

3.2.3 证明 $\int0^{T0}{\cos ^2\left( k\omega 0x \right) dx}=\frac{T0}{2}$

IMPORTANT

利用 $\cos ^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$这个公式去代， $\int0^{T0}{\frac{\cos 2k\omega _0x}{2}dx}$ 这个式子在3.2.1里面证明过了等于0。

$\int0^{T0}{\cos ^2\left( k\omega 0x \right) dx} \ =\int0^{T0}{\frac{1+\cos 2k\omega 0x}{2}dx}=\int0^{T0}{\frac{1}{2}dx}+\int0^{T0}{\frac{\cos 2k\omega 0x}{2}dx} \ =\int0^{T0}{\frac{1}{2}dx}+0 \ =\frac{T0}{2}$

3.2.4 证明 $\int0^{T0}{\sin^2\left( k\omega 0x \right) dx}=\frac{T0}{2}$

$\int0^{T0}{\sin ^2\left( k\omega 0x \right) dx} \ =\int0^{T0}{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}dx=}\int0^{T0}{\frac{1}{2}dx}-\int0^{T0}{\frac{\cos 2k\omega 0x}{2}dx} \ =\int0^{T0}{\frac{1}{2}dx}-0 \ =\frac{T_0}{2}$

3.3 如何计算 $C_k$

TIP

这里和计算 $B_k$时的思路类似

$\int0^{T0}{u\left( x \right) \sin \left( a\omega 0x \right) dx}=\int0^{T0}{B0\sin \left( a\omega 0x \right) dx}+\sum{k=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right) \sin \left( a\omega 0x \right) dx}}+\sum{k=1}^{+\infty}{\int0^{T0}{Ck\sin \left( k\omega 0x \right) \sin \left( a\omega 0x \right) dx}} \ =0+0+\frac{T0}{2}C_a$

最后可得 $Ck=\frac{2}{T0}\int0^{T0}{u\left( x \right) \sin \left( k\omega _0x \right) dx}$

3.4 总结

如果有一个 $f\left( x \right) =B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right)}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega _0x \right)}$

$T_0$是基波周期等于 $\frac{2\pi}{\omega}$

则

$B0=\frac{\int0^{T0}{f\left( \mathrm{x} \right)}\mathrm{dx}}{T0}$

$Bk=\small{\frac{2}{T0}}\int0^{T0}{f\left( x \right) \cos \left( k\omega _0x \right) dx}$

$Ck=\frac{2}{T0}\int0^{T0}{f\left( x \right) \sin \left( k\omega _0x \right) dx}$

以此解热传导方程可得：

$f\left( x,t \right) =B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right) e^{-{K\omega 0}^2t}}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega 0x \right) e^{-{K\omega _0}^2t}}$

NOTE

这里 $e^{-{K\omega _0}^2t}$上面是大K哦，和小k不是同一个，是一个系数。

4. 后续

傅里叶当年提交这篇论文之后被法国科学院拒绝了。

这个推理中有一个收敛性的问题。

这里默认了

$f\left( x \right) =B0+\sum{k=1}^{+\infty}{Bk\cos \left( k\omega 0x \right)}+\sum{k=1}^{+\infty}{Ck\sin \left( k\omega _0x \right)}$

问题是为什么 $f(x)$可以写成这样呢？

傅里叶想到了这个问题，他当年写了一小句：我认为对于常规的方波，三角波，是能够证明收敛性的。

但是他没有证明，只是说了“我觉得可以”。

从他1805年提出这篇论文，直到1832年才有另外一个人，叫做“狄利赫里”才把它基本上解决了，这部分内容放到下一节再聊。