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[数学基础]抽样函数 - 会飞的猪的小屋

[数学基础]抽样函数

2025 年 5 月 31 日星期六(已编辑)

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这篇文章上次修改于 2025 年 5 月 31 日星期六，可能部分内容已经不适用，如有疑问可询问作者。

在学习信号与系统的时候，有一个非常重要的函数，叫抽样函数Sa.

\begin{cases} 1,t=0\\ Sa\left( t \right) =\frac{\sin t}{t},t\ne 0\\ \end{cases}

为什么t=0是为1，是因为我们人为定义，t=0时刻这个函数的值等于它此时的极限。

\lim_{t\longrightarrow 0} \frac{\sin t}{t}=1

讲到这里，首先有一个问题：

1.函数的极限如何去求？

常见方法1：直接代入法。

如果函数极限代入后有意义(函数连续)，那么可以直接代入。

这里明显不适用，t=0的时候无法作为分母。

常见方法2：直接判断法

当分母为0，分子不为0 的时候，是无穷。

或者分母为无穷，分子为常数的时候，那么极限是0。

这里明显不适用，分子，分母极限都为0

常见方法3：0比0型的极限

1）能够因式分解，分解后能够把0因子去掉。这里不适用

2）利用等价无穷小替换

sinx 在 x趋于0的时候，可以等价无穷小为x。(几何可以证明,利用了夹逼定理)

2.抽样函数是一个偶函数

因为sint是奇函数，t也是奇函数。

两个奇函数相除，就是偶函数。

3.抽样函数的性质

\int_0^{\infty}{Sa\left( t \right) dt=\frac{\pi}{2}} \\ \int_{-\infty}^{\infty}{Sa\left( t \right) dt=\pi}

也就是：

\int_0^{\infty}{\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}} \\ \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin t}{t}dt=\pi}

这个性质需要记忆，在未来研究傅里叶级数和傅里叶理论的时候，直接当成定理使用。

这两个公式还有变种(ω大于0是条件)

\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin \omega t}{t}dt=\pi}\left( \omega >0 \right)

这个怎么证明，可以通过换元积分+凑微分的方式把原来的函数里面的ω消掉。

u=h\left( t \right) \text{则}du=h^{\prime}\left( t \right) du

\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin \omega t}{t}dt=\pi}\left( \omega >0 \right)

\text{令}\omega t=u,\text{则}t=\small{\frac{u}{\omega}}

\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin u}{\small{\frac{u}{\omega}}}d\small{\frac{u}{\omega}}}=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin u}{\small{u}}d\small{u}}=\,\,\pi

也可以通过物理意义，记住这个函数代表矩阵的傅里叶变换，而这个东西的结果和具体的频率ω无关。