第一步：什么是极点？

假设一个系统的传递函数是 $G(s) = \frac{1}{s - p}$。这里的 $p$ 就是极点（让分母为 0 的点）。

第二步：回到时间轴（拉普拉斯逆变换）

我们在数学上知道， $\frac{1}{s - p}$ 在时间域上对应的函数是 $e^{pt}$。

• 这个 $e^{pt}$ 描述了系统受到扰动后，自己“乱动”的规律（天然反应）。

第三步：看p的正负（复平面的左与右）

极点 $p$ 通常是一个复数，可以写成 $p = \sigma + j\omega$（ $\sigma$ 是实部， $\omega$ 是虚部）。那么： $e^{pt} = e^{(\sigma + j\omega)t} = \mathbf{e^{\sigma t}} \cdot e^{j\omega t}$

• 如果极点在左半平面 ( $\sigma < 0$)： $e^{\sigma t}$ 是一个指数衰减项（例如 $e^{-2t}$）。随着时间 $t$ 变大，这个值会趋于 0。

  • 结论： 扰动消失了，系统回到了平衡点 —— 稳定。

• 如果极点在右半平面 ( $\sigma > 0$)： $e^{\sigma t}$ 是一个指数爆炸项（例如 $e^{2t}$）。随着时间 $t$ 变大，这个值会趋于 无穷大。

  • 结论： 扰动被无限放大，系统炸了 —— 不稳定。

• 虚部 $\omega$ 是干什么的？ $e^{j\omega t}$ 代表振荡（波浪线）。所以如果极点有虚部，系统就会一边衰减一边摆动。