信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

1. 单位冲激与单位阶跃

1.1 单位阶跃信号

单位阶跃信号记为 $u(t)$ ：

u(t)= \begin{cases} 0, & t<0\\ 1, & t>0 \end{cases}

它表示信号在 $t=0$ 时从 0 跳变到 1，并在之后保持为 1。

1.2 单位冲激信号

单位冲激信号记为 $\delta(t)$ 。它不是普通意义上的函数，而是广义函数，具有：

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1

它可以理解为作用时间无限短、作用强度无限大，但总面积等于 1 的瞬时信号。

1.3 二者的关系

单位冲激是单位阶跃的导数：

\delta(t)=\frac{d}{dt}u(t)

单位阶跃是单位冲激的积分：

u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau

因此，单位冲激和单位阶跃不是同一个信号。

2. 冲激函数的微分与积分性质

卷积中常用以下性质：

x(t)*\delta(t)=x(t)

单位冲激在卷积中相当于“什么也不改变”。

冲激的导数满足：

x(t)*\delta'(t)=\frac{dx(t)}{dt}

所以冲激的导数在卷积中具有微分作用。

而与单位阶跃卷积具有积分作用：

x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau

若 $x(t)$ 是因果信号，则也可以写为：

x(t)*u(t)=\int_{0}^{t}x(\tau)\,d\tau

反过来：

\frac{d}{dt}[x(t)*u(t)]=x(t)

3. 为什么 $u(t)*u(t)=t u(t)$

根据上面的积分性质，令 $x(t)=u(t)$ ，得到：

u(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau

当 $t<0$ 时，积分区间内 $u(\tau)=0$ ，所以结果为 0。

当 $t>0$ 时，只有 $0\leq\tau\leq t$ 的区间内 $u(\tau)=1$ ，因此：

u(t)*u(t)=\int_0^t1\,d\tau=t

合起来：

\boxed{u(t)*u(t)=t u(t)}

这就是单位斜坡函数。

有些教材把它记为：

u_{-2}(t)=u(t)*u(t)=t u(t)

这里的下标 $-2$ 不是表示时间为负，也不是表示函数值为负，而是表示对单位冲激积分了两次：

u_0(t)=\delta(t)

u_{-1}(t)=u(t)

u_{-2}(t)=t u(t)

这是教材采用的一种记号约定。

4. 什么是系统的冲激响应

设系统用 $T\{\cdot\}$ 表示，则系统的单位冲激响应定义为：

\boxed{h(t)=T\{\delta(t)\}}

它的意思是：

给系统输入一个单位冲激 $\delta(t)$ ，系统输出的信号就叫作冲激响应 $h(t)$ 。

因此：

\delta(t)\longrightarrow h(t)

这并不是说任意输入进入系统后都会变成 $h(t)$ ，而是说单位冲激这一特殊输入对应的输出被定义为 $h(t)$ 。

可以把 $h(t)$ 看成 LTI 系统的“指纹”。知道了 $h(t)$ ，原则上就能确定系统对任意输入的响应。

5. 为什么 LTI 系统有 $y(t)=x(t)*h(t)$

这个结论适用于：

线性系统；
时不变系统（LTI）；
零初始状态，即零状态响应。

5.1 把输入分解成冲激的叠加

任意信号都可以表示为无穷多个移位冲激的叠加：

x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau

其中，$\delta(t-\tau)$ 表示发生在 $\tau$ 时刻的单位冲激。

5.2 利用时不变性

已知：

\delta(t)\longrightarrow h(t)

由于系统时不变，输入延迟 $\tau$ 后，输出也延迟 $\tau$ ：

\delta(t-\tau)\longrightarrow h(t-\tau)

5.3 利用线性

输入中的一小部分为：

x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau

根据线性，该部分产生的输出为：

x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

把所有时刻的响应相加：

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

这正是卷积：

\boxed{y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)}

所以这句话的直观含义是：

输入信号的每一个“冲激成分”都会产生一个对应的冲激响应；所有这些响应按照输入成分的大小进行缩放、按照发生时间进行平移，最后叠加起来，就是系统总输出。

5.4 一个简单例子

若：

x(t)=2\delta(t)+3\delta(t-1)

则系统输出为：

y(t)=2h(t)+3h(t-1)

含义是：

$t=0$ 时刻的幅值为 2 的冲激，产生 $2h(t)$ ；
$t=1$ 时刻的幅值为 3 的冲激，产生 $3h(t-1)$ ；
两个响应相加得到总输出。

连续输入只是把上述有限次相加推广为无穷次积分。

6. 阶跃响应与冲激响应

设系统的冲激响应为 $h(t)$ ，单位阶跃响应记为 $s(t)$ 。由于单位阶跃是单位冲激的积分：

u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau

所以：

s(t)=h(t)*u(t)

即：

s(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)\,d\tau

两边求导可得：

\boxed{h(t)=\frac{d}{dt}s(t)}

因此，在零初始状态的 LTI 系统中，知道阶跃响应，就可以通过求导得到冲激响应；知道冲激响应，也可以通过积分得到阶跃响应。

实际中不容易产生理想冲激，所以常通过施加阶跃输入来测量阶跃响应，再对阶跃响应求导，间接得到冲激响应。

如果实际输入是幅值为 $A$ 的阶跃 $A u(t)$ ，对应输出为 $s_A(t)$ ，则：

h(t)=\frac{1}{A}\frac{d}{dt}s_A(t)

7. 微分方程与积分形式

考虑一阶系统：

\frac{dy(t)}{dt}+a y(t)=b x(t)

改写为：

\frac{dy(t)}{dt}=b x(t)-a y(t)

从 $t_0$ 积分到 $t$ ，得到：

\boxed{ y(t)=y(t_0)+\int_{t_0}^{t}[b x(\tau)-a y(\tau)]\,d\tau }

若默认 $y(-\infty)=0$ ，则可以写成：

y(t)=\int_{-\infty}^{t}[b x(\tau)-a y(\tau)]\,d\tau

7.1 积分形式的优点

如果 $y(t)$ 是带噪声的测量信号，直接求导可能放大高频噪声；改用积分形式进行参数估计，通常更加稳定：

y(t)-y(t_0) =b\int_{t_0}^{t}x(\tau)\,d\tau -a\int_{t_0}^{t}y(\tau)\,d\tau

这样避免了直接计算 $\frac{dy}{dt}$ 。

但要注意：积分虽然能够抑制一部分高频噪声，却可能积累低频漂移和直流偏置，因此并不是任何情况下都绝对更好。

7.2 求出系统的冲激响应

该一阶系统的零状态解为：

y(t)=b\int_{t_0}^{t}e^{-a(t-\tau)}x(\tau)\,d\tau

取 $t_0=-\infty$ ，并假设系统稳定（通常 $a>0$ ），可写成：

y(t)=\int_{-\infty}^{t}b e^{-a(t-\tau)}x(\tau)\,d\tau

这就是卷积形式，对应的冲激响应为：

\boxed{h(t)=b e^{-at}u(t)}

因此：

\boxed{y(t)=h(t)*x(t)}

8. 零状态响应与零输入响应

当系统初始状态为零时：

y(t)=y_{\text{零状态}}(t)=h(t)*x(t)

如果系统存在非零初始状态，则总响应为：

\boxed{ y(t)=y_{\text{零输入}}(t)+h(t)*x(t) }

其中：

$y_{\text{零输入}}(t)$ ：没有外部输入，仅由初始储能产生的响应；
$h(t)*x(t)$ ：由输入产生的零状态响应。

因此，严格来说，$ y(t)=h(t)*x(t) $ 只描述零状态响应。

9. 使用卷积公式的条件与注意事项

公式

y(t)=h(t)*x(t)

通常需要满足：

系统是线性的；
系统是时不变的；
系统初始状态为零；
卷积积分存在或在广义函数意义下有定义。

实际测量和计算时还应注意：

对阶跃响应求导会放大噪声，通常需要适当滤波；
积分会抑制高频噪声，但可能积累漂移和偏置；
若系统含有直接通路，冲激响应中可能出现 $\delta(t)$ 项，阶跃响应会在 $t=0$ 处发生跳变；
非线性系统或时变系统一般不能直接用普通卷积完全描述。

10. 一句话总结

对于零初始状态的 LTI 系统：

\boxed{ \text{单位冲激输入}\xrightarrow{\text{系统}}\text{冲激响应 }h(t) }

任意输入都可以分解为无穷多个冲激，利用线性进行缩放、利用时不变性进行平移，再把所有响应叠加，因此：

\boxed{y(t)=x(t)*h(t)}

阶跃响应是冲激响应的积分，冲激响应是阶跃响应的导数：

\boxed{s(t)=h(t)*u(t)},\qquad \boxed{h(t)=\frac{d}{dt}s(t)}

信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

1. 单位冲激与单位阶跃

1.1 单位阶跃信号

单位阶跃信号记为 $u(t)$ ：

u(t)= \begin{cases} 0, & t<0\\ 1, & t>0 \end{cases}

它表示信号在 $t=0$ 时从 0 跳变到 1，并在之后保持为 1。

1.2 单位冲激信号

单位冲激信号记为 $\delta(t)$ 。它不是普通意义上的函数，而是广义函数，具有：

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1

它可以理解为作用时间无限短、作用强度无限大，但总面积等于 1 的瞬时信号。

1.3 二者的关系

单位冲激是单位阶跃的导数：

\delta(t)=\frac{d}{dt}u(t)

单位阶跃是单位冲激的积分：

u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau

因此，单位冲激和单位阶跃不是同一个信号。

2. 冲激函数的微分与积分性质

卷积中常用以下性质：

x(t)*\delta(t)=x(t)

单位冲激在卷积中相当于“什么也不改变”。

冲激的导数满足：

x(t)*\delta'(t)=\frac{dx(t)}{dt}

所以冲激的导数在卷积中具有微分作用。

而与单位阶跃卷积具有积分作用：

x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau

若 $x(t)$ 是因果信号，则也可以写为：

x(t)*u(t)=\int_{0}^{t}x(\tau)\,d\tau

反过来：

\frac{d}{dt}[x(t)*u(t)]=x(t)

3. 为什么 $u(t)*u(t)=t u(t)$

根据上面的积分性质，令 $x(t)=u(t)$ ，得到：

u(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau

当 $t<0$ 时，积分区间内 $u(\tau)=0$ ，所以结果为 0。

当 $t>0$ 时，只有 $0\leq\tau\leq t$ 的区间内 $u(\tau)=1$ ，因此：

u(t)*u(t)=\int_0^t1\,d\tau=t

合起来：

\boxed{u(t)*u(t)=t u(t)}

这就是单位斜坡函数。

有些教材把它记为：

u_{-2}(t)=u(t)*u(t)=t u(t)

这里的下标 $-2$ 不是表示时间为负，也不是表示函数值为负，而是表示对单位冲激积分了两次：

u_0(t)=\delta(t)

u_{-1}(t)=u(t)

u_{-2}(t)=t u(t)

这是教材采用的一种记号约定。

4. 什么是系统的冲激响应

设系统用 $T\{\cdot\}$ 表示，则系统的单位冲激响应定义为：

\boxed{h(t)=T\{\delta(t)\}}

它的意思是：

给系统输入一个单位冲激 $\delta(t)$ ，系统输出的信号就叫作冲激响应 $h(t)$ 。

因此：

\delta(t)\longrightarrow h(t)

这并不是说任意输入进入系统后都会变成 $h(t)$ ，而是说单位冲激这一特殊输入对应的输出被定义为 $h(t)$ 。

可以把 $h(t)$ 看成 LTI 系统的“指纹”。知道了 $h(t)$ ，原则上就能确定系统对任意输入的响应。

5. 为什么 LTI 系统有 $y(t)=x(t)*h(t)$

这个结论适用于：

线性系统；
时不变系统（LTI）；
零初始状态，即零状态响应。

5.1 把输入分解成冲激的叠加

任意信号都可以表示为无穷多个移位冲激的叠加：

x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau

其中，$\delta(t-\tau)$ 表示发生在 $\tau$ 时刻的单位冲激。

5.2 利用时不变性

已知：

\delta(t)\longrightarrow h(t)

由于系统时不变，输入延迟 $\tau$ 后，输出也延迟 $\tau$ ：

\delta(t-\tau)\longrightarrow h(t-\tau)

5.3 利用线性

输入中的一小部分为：

x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau

根据线性，该部分产生的输出为：

x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

把所有时刻的响应相加：

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau

这正是卷积：

\boxed{y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)}

所以这句话的直观含义是：

输入信号的每一个“冲激成分”都会产生一个对应的冲激响应；所有这些响应按照输入成分的大小进行缩放、按照发生时间进行平移，最后叠加起来，就是系统总输出。

5.4 一个简单例子

若：

x(t)=2\delta(t)+3\delta(t-1)

则系统输出为：

y(t)=2h(t)+3h(t-1)

含义是：

$t=0$ 时刻的幅值为 2 的冲激，产生 $2h(t)$ ；
$t=1$ 时刻的幅值为 3 的冲激，产生 $3h(t-1)$ ；
两个响应相加得到总输出。

连续输入只是把上述有限次相加推广为无穷次积分。

6. 阶跃响应与冲激响应

设系统的冲激响应为 $h(t)$ ，单位阶跃响应记为 $s(t)$ 。由于单位阶跃是单位冲激的积分：

u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau

所以：

s(t)=h(t)*u(t)

即：

s(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)\,d\tau

两边求导可得：

\boxed{h(t)=\frac{d}{dt}s(t)}

因此，在零初始状态的 LTI 系统中，知道阶跃响应，就可以通过求导得到冲激响应；知道冲激响应，也可以通过积分得到阶跃响应。

实际中不容易产生理想冲激，所以常通过施加阶跃输入来测量阶跃响应，再对阶跃响应求导，间接得到冲激响应。

如果实际输入是幅值为 $A$ 的阶跃 $A u(t)$ ，对应输出为 $s_A(t)$ ，则：

h(t)=\frac{1}{A}\frac{d}{dt}s_A(t)

7. 微分方程与积分形式

考虑一阶系统：

\frac{dy(t)}{dt}+a y(t)=b x(t)

改写为：

\frac{dy(t)}{dt}=b x(t)-a y(t)

从 $t_0$ 积分到 $t$ ，得到：

\boxed{ y(t)=y(t_0)+\int_{t_0}^{t}[b x(\tau)-a y(\tau)]\,d\tau }

若默认 $y(-\infty)=0$ ，则可以写成：

y(t)=\int_{-\infty}^{t}[b x(\tau)-a y(\tau)]\,d\tau

7.1 积分形式的优点

如果 $y(t)$ 是带噪声的测量信号，直接求导可能放大高频噪声；改用积分形式进行参数估计，通常更加稳定：

y(t)-y(t_0) =b\int_{t_0}^{t}x(\tau)\,d\tau -a\int_{t_0}^{t}y(\tau)\,d\tau

这样避免了直接计算 $\frac{dy}{dt}$ 。

但要注意：积分虽然能够抑制一部分高频噪声，却可能积累低频漂移和直流偏置，因此并不是任何情况下都绝对更好。

7.2 求出系统的冲激响应

该一阶系统的零状态解为：

y(t)=b\int_{t_0}^{t}e^{-a(t-\tau)}x(\tau)\,d\tau

取 $t_0=-\infty$ ，并假设系统稳定（通常 $a>0$ ），可写成：

y(t)=\int_{-\infty}^{t}b e^{-a(t-\tau)}x(\tau)\,d\tau

这就是卷积形式，对应的冲激响应为：

\boxed{h(t)=b e^{-at}u(t)}

因此：

\boxed{y(t)=h(t)*x(t)}

8. 零状态响应与零输入响应

当系统初始状态为零时：

y(t)=y_{\text{零状态}}(t)=h(t)*x(t)

如果系统存在非零初始状态，则总响应为：

\boxed{ y(t)=y_{\text{零输入}}(t)+h(t)*x(t) }

其中：

$y_{\text{零输入}}(t)$ ：没有外部输入，仅由初始储能产生的响应；
$h(t)*x(t)$ ：由输入产生的零状态响应。

因此，严格来说，$ y(t)=h(t)*x(t) $ 只描述零状态响应。

9. 使用卷积公式的条件与注意事项

公式

y(t)=h(t)*x(t)

通常需要满足：

系统是线性的；
系统是时不变的；
系统初始状态为零；
卷积积分存在或在广义函数意义下有定义。

实际测量和计算时还应注意：

对阶跃响应求导会放大噪声，通常需要适当滤波；
积分会抑制高频噪声，但可能积累漂移和偏置；
若系统含有直接通路，冲激响应中可能出现 $\delta(t)$ 项，阶跃响应会在 $t=0$ 处发生跳变；
非线性系统或时变系统一般不能直接用普通卷积完全描述。

10. 一句话总结

对于零初始状态的 LTI 系统：

\boxed{ \text{单位冲激输入}\xrightarrow{\text{系统}}\text{冲激响应 }h(t) }

任意输入都可以分解为无穷多个冲激，利用线性进行缩放、利用时不变性进行平移，再把所有响应叠加，因此：

\boxed{y(t)=x(t)*h(t)}

阶跃响应是冲激响应的积分，冲激响应是阶跃响应的导数：

\boxed{s(t)=h(t)*u(t)},\qquad \boxed{h(t)=\frac{d}{dt}s(t)}

信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

1. 单位冲激与单位阶跃

1.1 单位阶跃信号

1.2 单位冲激信号

1.3 二者的关系

2. 冲激函数的微分与积分性质

3. 为什么 u(t)∗u(t)=tu(t)u(t)*u(t)=t u(t)u(t)∗u(t)=tu(t)

4. 什么是系统的冲激响应

5. 为什么 LTI 系统有 y(t)=x(t)∗h(t)y(t)=x(t)*h(t)y(t)=x(t)∗h(t)

5.1 把输入分解成冲激的叠加

5.2 利用时不变性

5.3 利用线性

5.4 一个简单例子

6. 阶跃响应与冲激响应

7. 微分方程与积分形式

7.1 积分形式的优点

7.2 求出系统的冲激响应

8. 零状态响应与零输入响应

9. 使用卷积公式的条件与注意事项

10. 一句话总结

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信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

信号与系统：冲激响应、阶跃响应与卷积

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1. 单位冲激与单位阶跃

1.1 单位阶跃信号

1.2 单位冲激信号

1.3 二者的关系

2. 冲激函数的微分与积分性质

3. 为什么 u(t)∗u(t)=tu(t)u(t)*u(t)=t u(t)u(t)∗u(t)=tu(t)

4. 什么是系统的冲激响应

5. 为什么 LTI 系统有 y(t)=x(t)∗h(t)y(t)=x(t)*h(t)y(t)=x(t)∗h(t)

5.1 把输入分解成冲激的叠加

5.2 利用时不变性

5.3 利用线性

5.4 一个简单例子

6. 阶跃响应与冲激响应

7. 微分方程与积分形式

7.1 积分形式的优点

7.2 求出系统的冲激响应

8. 零状态响应与零输入响应

9. 使用卷积公式的条件与注意事项

10. 一句话总结

关键洞察

3. 为什么 $u(t)*u(t)=t u(t)$

5. 为什么 LTI 系统有 $y(t)=x(t)*h(t)$

3. 为什么 $u(t)*u(t)=t u(t)$

5. 为什么 LTI 系统有 $y(t)=x(t)*h(t)$