第二章 线性时不变系统的时域分析

0、LTI系统的定义

Linear Time-Invariant （LTI）

如果一个系统既线性，又时不变，我们就叫它线性时不变系统。

为什么研究线性时不变系统？

为什么研究线性系统

首先思考一个问题：这个世界上有绝对意义上的线性系统吗？（满足齐次性和叠加性）

满足齐次性就意味着如果一个系统是2x，那么假设通入1A的电流，输出就是2A。但是所有物理组成的系统，都有它的上限。（你通入10000A的电流，输出还会是20000A吗？）它由于物理的限制，必定有其上线。

比如喇叭和麦克风，A说一句话，喇叭就原封不动的重复这句话。但是实际上声音肯定会有失真。

所以说没有绝对意义上的线性系统。

那么为什么要研究线性系统呢？

因为现实过于复杂，线性是对现实合理化的近似。

例如上面电流的系统，在一定范围内，可以看成是线性的。

喇叭和麦克风在一定程度上，也可以看成是线性的。

从这个角度看，大部分现实中的系统，在一定程度上，都可以把它看做线性系统。

(与其说世界上的模型大部分是线性，不如认为我们没办法处理过于复杂的模型，只能把世界上的事物近似成线性模型来分析)

为什么研究时不变系统

继续思考一个同样的问题，这个世界上有完全的时不变系统吗？

(时不变系统，意味着无论什么时候给出同样的输入，它都会给出同样的输出)

当然在物理世界内这个也是不可能的，电机会老化！设备会老化！没有什么东西是永远的。

所以说没有绝对意义上的时不变系统

但是，时不变系统是对真实世界的合理假设。

如果你要把系统看成时变的，那么物理将不存在，今天给出一个结果，明天给出另外一个结果。我们无法做研究了。

就像一块肉，放在室温下会腐烂，但是在某段时间内，我们研究它，肯定要把它当成时不变的系统来才行。

LTI系统很简单

因为这个系统很简单，所以我们研究它。

它简单到如果我们知道LTI系统的一个x(t)对应的输出y(t)，那么我们就知道了所有的x(t)对应的y(t)。

第二章讲的所有内容，就是为了表明这句话！

1、线性时不变系统的性质(复习)

Note

我们先来复习一下线性系统和时不变系统的定义

线性系统：

1.齐次性：任意的x(t)经过系统变为y(t)，则ax(t)经过系统变为ay(t)。

2.叠加性：任意的x1(t)经过系统变为y1(t)，x2(t)经过系统变为y2(t)。则ax1(t)+bx2(t)经过系统变为ay1(t)+by2(t)。

时不变系统：

1. $x\left( t \right)$经过系统变为$y\left( t \right) $, 则$x\left( t+t0 \right) $变为$y\left( t+t0 \right) $

根据这两个性质我们来做一到题目：

假设有一个离散的$x\left( n \right) $经过LTI系统之后，变为了$y\left( n \right) $，其中$x\left( n \right) $为的图像为一个冲激函数$\tau \left( n \right) $，而$y\left( n \right) $是一个分段函数，

那么如果输入是$2\tau \left( n \right) $输出会是什么呢？

那么这个问题结果就是原来的$y\left( n \right) $ 上面的每个点乘以2。（因为线性系统的齐次性，输入扩大两倍，输出也扩大两倍）

那么如果输入是$\tau \left( n-1 \right) $输出会是什么呢？

这个问题的结果就是输出右移1个单位（因为时不变系统的性质）

那么如果最后根据叠加性出一道题目的话

输入如果是$2\tau \left( n \right)+\tau \left( n-1 \right)$的话，它的 输出就是第一道题目和第二道题目加起来！

再来看一道稍微复杂的题目：

输入如果是下图这样，输出会是怎么样的？

2、卷积

我们定义这个特殊的序列$x\left( n \right) =\delta \left( n \right) $称其为单位脉冲序列。

单位脉冲序列经过系统，得到的输出，我们有个专门的名字，叫做$h\left( n \right) $，称作"单位脉冲响应"。

对于LTI系统，单位脉冲响应$h\left( n \right) $是一个非常特殊的输出。因为如果我们知道了$h\left( n \right) $，我们可以计算出任意一个输入的输出响应。就如果我们之前那道题目里做的一样。

假设这个输入为$x\left( n \right) $，那么它经过系统的输出我们就记做$y\left[ n \right] =x\left[ n \right] *h\left[ n \right] $。

这个就是卷积(convolution)。

来几个判断：

如果两个LTI系统的$h\left( n \right) $一样，那么这两个系统就是一样的。

(换句话来说，因为$h\left( n \right) $一样，所以这两个系统对于同样的输入，就有同样的输出！同样的输入有同样的输出，这两个系统就一样吗？这个是个哲学问题。我们一般认为，如果看上去像鸭子，吃起来像鸭子，叫声像鸭子，它就是鸭子。)

换句话说，$h\left( n \right) $就是一个LTI系统唯一的标识！一个LTI系统所有的特点就集中$h\left( n \right) $里面。

3、卷积的计算(离散)

那么如何计算$x\left[ n \right] *h\left[ n \right] $呢？

3.1列表法(略)

首先，确定$y\left[ n \right] =x\left[ n \right] *h\left[ n \right] $取值范围。

$y[n]$的最左边等于$x\left[ n \right]$的最左边加上$h\left[ n \right]$的最左边。

$y[n]$的最右边等于$x\left[ n \right]$的最右边加上$h\left[ n \right]$的最右边。

这部分内容我能够理解，但是用文字讲不太清楚，反正最后卷积公式是：

$x\left[ n \right] *h\left[ n \right] =\sum_{k=-\infty}^{k=\infty}{x\left[ k \right] \delta \left[ n-k \right]}$

实际上这个就是列表法定义，只是把定义用数学语言描述出来而已。

4、连续LTI系统卷积公式

用卷积的性质做几道题目(LTI性质不保证放缩哦)：

这里就是需要问一个问题？如果最后的输入信号是一个任意的，那么经过同一个LTI输出是什么？

我们无法回答这个问题：

但是如果用一个阶梯函数近似：

我们可以知道这个阶梯函数的输出。也就是近似的输出。

这个近似太不精确了吧，每隔2个单位，才有一个阶梯。

为了让近似更加精确，假设我们不是0~2的输出，而是0~1的输出的响应，可以得到更加近似的阶梯函数：

所以我们想探寻一个无线窄的方波，对应的响应是什么。

当δ无线接近0的时候，高度为1/δ，就是一个冲击。

我们如果用冲击去构建前面的阶梯函数，就可以把前文提到的离散的卷积变成连续的了。

区别就是从级数和变成了积分。

这里文字描述起来，我不知道怎么讲，看视频的话，应该是比较明白的。

（里面没有数学推导，你到后面发现这个就是黎曼积分的定义）

4.1冲击响应的性质

这部分比较困难，1833年有了极限的概念为了证明这部分性质，但是极限真正完善是到1907年左右。中间有大概70年左右的时间。

也就是说世界上最聪明的大脑都花了70年才想明白这些问题，作为一个普通的学生，想不明白这些问题是很正常的。

根据胡浩基老师的课程所述，需要学实变函数和泛函分析，所以详细的证明略过。(老师大概花了1个小时在介绍勒贝格)

我们需要首先介绍一名数学家，他叫做勒贝格（开创实变函数和泛函分析）。

他是一名中学老师的，当他开创实变函数的时候，也是从中学的问题开始想起（用的都是中学的知识）。

“两个函数$f1(t)$和$f2(t)$什么时候相等？”

中学的时候，定义这个问题：若任意的T0属于实数域，$f1(t0)=f2(t0)$则两个函数相等。

但是勒贝格觉得这个定义太过于严格了。他重新定义了相等

....

PS:总之很复杂，我也不会证明，下面的性质直接用即可。

$1.\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta \left( t \right) dt =1}$

$2.\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left( t \right) \delta \left( t \right) dt=x\left( 0 \right)}$

$3.x\left( t \right) \delta \left( t \right) =x\left( 0 \right) \delta \left( t \right)$

$4.delta \left( at \right) =\frac{1}{\left| a \right|}\delta \left( t \right)$

$5.\delta \left( ft \right) =\sum_{\text{所有}f\left( t_0 \right) =0}{\frac{1}{\left| f\prime \left( t_0 \right) \right|}\delta \left( t-t_0 \right)}$

4式是5式的特例。我们根据这个性质来算几道例题。

例题1：$\delta \left( t^2-3t+2 \right) $

直接把公式代入进去即可：

$\delta \left( t^2-3t+2 \right) =\sum_{\text{所有}f\left( t_0 \right) =0}{\frac{1}{\left| 2t-3 \right|}\delta \left( t-t_0 \right)} \\ \text{因为}t_0=1\text{或}t_0=2 \\ \sum_{\text{所有}f\left( t_0 \right) =0}{\frac{1}{\left| 2t-3 \right|}\delta \left( t-t_0 \right)}=\frac{1}{\left| 2-3 \right|}\delta \left( t-1 \right) +\frac{1}{\left| 4-3 \right|}\delta \left( t-2 \right) \\ =\delta \left( t-1 \right) +\delta \left( t-2 \right)$

例题2：$\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right) \delta \left( \cos t \right) dt=?}$

先利用5式算$\delta \left( \cos t \right) $，$t=\frac{\pi}{2}+k\pi \text{时}\delta \left( \cos t \right) =0\text{，}$

然后代入，可以知道$\frac{1}{\left| f\prime \left( t_0 \right) \right|}$这一项恒为1

所以最后结果为： $\sum_{k=\text{整数}}{\delta \left( t-\frac{\pi}{2}-k\pi \right)}$

这个冲激函数的图像为：

在-2π到2π之间取值，只有4个值，最后得到下面这个公式。

$\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right) \delta \left( \cos t \right) dt=}\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right) \left[ \delta \left( t+\frac{3}{2}\pi \right) +\delta \left( t+\frac{1}{2}\pi \right) +\delta \left( t-\frac{1}{2}\pi \right) +\delta \left( t-\frac{3}{2}\pi \right) \right] dt}$

也就是：

$\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right)}\delta \left( t+\frac{3}{2}\pi \right) dt+\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right)}\delta \left( t+\frac{1}{2}\pi \right) dt+\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right)}\delta \left( t-\frac{1}{2}\pi \right) dt+\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right)}\delta \left( t-\frac{3}{2}\pi \right) dt$

在用2式，可以得到：

$\int_{-2\pi}^{2\pi}{\left( 1+t \right)}\delta \left( t+\frac{3}{2}\pi \right) dt\text{可以看成}y=1+t,\text{在}t=-\frac{3}{2}\pi \text{时候的取值，也就是}1-\frac{3}{2}\pi$

原式子就是：

$=1-\frac{3}{2}\pi +1-\frac{1}{2}\pi +1+\frac{1}{2}\pi +1+\frac{3}{2}\pi=4$

4.2 冲击函数的多样性

冲激函数的定义可以是多种多样的，只要满足对任意的函数y(t)都可以实现

$\int_{-\infty}^{+\infty}{y\left( t \right) f\left( t \right) dt=y\left( 0 \right)}$

根据公式2就可以知道f(t)是冲激函数了。（用积分中值定理可以证明）

$\text{由于}f\left( t \right) \text{如图所示，可以积分变限} \\ \underset{\varDelta \rightarrow 0}{\lim}\int_{-\infty}^{+\infty}{y\left( t \right)}f\left( t \right) dt=\underset{\varDelta \rightarrow 0}{\lim}\int_{-\frac{\varDelta}{2}}^{+\frac{\varDelta}{2}}{y\left( t \right)}\frac{1}{\varDelta}dt \\ \text{将}\frac{1}{\varDelta}\text{提取出来} \\ =\underset{\varDelta \rightarrow 0}{\lim}\frac{1}{\varDelta}\int_{-\frac{\varDelta}{2}}^{+\frac{\varDelta}{2}}{y\left( t \right)}dt\text{，根据积分中值定理} \\ =\underset{\varDelta \rightarrow 0}{\lim}\frac{1}{\varDelta}y\left( \xi \right) \varDelta \,\, =\underset{\varDelta \rightarrow 0}{\lim}y\left( \xi \right) =y\left( 0 \right)$

为啥可以把1/δ给提取出来？积分中值定理又是什么？已经忘记了

另外还有一道思考题：

4.3 冲激函数的重要结论

可以记不住证明，但是请记住下面的重要结论：

下面这个函数也是冲击函数：

$\underset{\varDelta \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\sin \left( \omega t \right)}{\pi t}=\delta \left( t \right)$

它的图像如下所示：

这个是一个往里面无线压缩的Sa函数。

它的积分是1

第三章讲到傅里叶变换的时候会用到它。

这个函数的证明有历史渊源，傅里叶发明傅里叶级数之后，一直没办法证明它的收敛性，直到后来有一个叫狄利赫里(Dirichlet)的数学家才证明了满足一定条件收敛。

在他证明的时候，第一个就是证明了这个公式。

中间过了30年才有人想出来，我们想不出来也很正常。

以下证明为不严格的数学（严格和麻烦）

引理：若$x\left( t \right) $不是无限震荡函数，则$\underset{\omega \rightarrow \infty}{\lim}x\left( t \right) \cos \left( \omega t \right) dt=0$并且$\underset{\omega \rightarrow \infty}{\lim}x\left( t \right) \sin \left( \omega t \right) dt=0$

这句话是什么意思呢？我们看$x\left( t \right) $和$\cos \left( \omega t \right) $的图像

意思到ω取到无穷大的时候（意味着这个震荡会十分的快速）， 他们两个乘起来就相当于$x\left( t \right) $变成了包络线。由于这个ω是无穷大，在很小的一个区间内，正的会和负的抵消掉。

我们用matlab把积分算一下，可以看到随着ω的增加积分越来越趋于0。这个动画演示的就是由于高频的震荡，导致的积分正负抵消。