第二章 线性时不变系统的时域分析

0、LTI系统的定义

Linear Time-Invariant （LTI）

如果一个系统既线性，又时不变，我们就叫它线性时不变系统。

为什么研究线性时不变系统？

为什么研究线性系统

首先思考一个问题：这个世界上有绝对意义上的线性系统吗？（满足齐次性和叠加性）

满足齐次性就意味着如果一个系统是2x，那么假设通入1A的电流，输出就是2A。但是所有物理组成的系统，都有它的上限。（你通入10000A的电流，输出还会是20000A吗？）它由于物理的限制，必定有其上线。

比如喇叭和麦克风，A说一句话，喇叭就原封不动的重复这句话。但是实际上声音肯定会有失真。

所以说没有绝对意义上的线性系统。

那么为什么要研究线性系统呢？

因为现实过于复杂，线性是对现实合理化的近似。

例如上面电流的系统，在一定范围内，可以看成是线性的。

喇叭和麦克风在一定程度上，也可以看成是线性的。

从这个角度看，大部分现实中的系统，在一定程度上，都可以把它看做线性系统。

(与其说世界上的模型大部分是线性，不如认为我们没办法处理过于复杂的模型，只能把世界上的事物近似成线性模型来分析)

为什么研究时不变系统

继续思考一个同样的问题，这个世界上有完全的时不变系统吗？

(时不变系统，意味着无论什么时候给出同样的输入，它都会给出同样的输出)

当然在物理世界内这个也是不可能的，电机会老化！设备会老化！没有什么东西是永远的。

所以说没有绝对意义上的时不变系统

但是，时不变系统是对真实世界的合理假设。

如果你要把系统看成时变的，那么物理将不存在，今天给出一个结果，明天给出另外一个结果。我们无法做研究了。

就像一块肉，放在室温下会腐烂，但是在某段时间内，我们研究它，肯定要把它当成时不变的系统来才行。

LTI系统很简单

因为这个系统很简单，所以我们研究它。

它简单到如果我们知道LTI系统的一个x(t)对应的输出y(t)，那么我们就知道了所有的x(t)对应的y(t)。

第二章讲的所有内容，就是为了表明这句话！

1、线性时不变系统的性质(复习)

Note

我们先来复习一下线性系统和时不变系统的定义

线性系统：

1.齐次性：任意的x(t)经过系统变为y(t)，则ax(t)经过系统变为ay(t)。

2.叠加性：任意的x1(t)经过系统变为y1(t)，x2(t)经过系统变为y2(t)。则ax1(t)+bx2(t)经过系统变为ay1(t)+by2(t)。

时不变系统：

1. $x\left( t \right)$经过系统变为$y\left( t \right)$ , 则 $x\left( t+t0 \right)$变为$y\left( t+t0 \right)$

根据这两个性质我们来做一到题目：

假设有一个离散的$x\left( n \right)$经过LTI系统之后，变为了$y\left( n \right)$ ，其中$x\left( n \right)$为的图像为一个冲激函数$\tau \left( n \right)$，而$y\left( n \right)$是一个分段函数，

那么如果输入是$2\tau \left( n \right)$输出会是什么呢？

那么这个问题结果就是原来的$y\left( n \right)$ 上面的每个点乘以2。（因为线性系统的齐次性，输入扩大两倍，输出也扩大两倍）

那么如果输入是$\tau \left( n-1 \right)$输出会是什么呢？

这个问题的结果就是输出右移1个单位（因为时不变系统的性质）

那么如果最后根据叠加性出一道题目的话

输入如果是$2\tau \left( n \right)+\tau \left( n-1 \right)$的话，它的 输出就是第一道题目和第二道题目加起来！

再来看一道稍微复杂的题目：

输入如果是下图这样，输出会是怎么样的？

2、卷积

我们定义这个特殊的序列$x\left( n \right) =\delta \left( n \right)$称其为单位脉冲序列。

单位脉冲序列经过系统，得到的输出，我们有个专门的名字，叫做$h\left( n \right)$，称作"单位脉冲响应"。

对于LTI系统，单位脉冲响应$$h\left( n \right) $$是一个非常特殊的输出。因为如果我们知道了$$h\left( n \right) $$，我们可以计算出任意一个输入的输出响应。就如果我们之前那道题目里做的一样。

假设这个输入为$$x\left( n \right) $$，那么它经过系统的输出我们就记做$y\left[ n \right] =x\left[ n \right] *h\left[ n \right]$。

这个就是卷积(convolution)。

来几个判断：

如果两个LTI系统的$h\left( n \right)$一样，那么这两个系统就是一样的。

(换句话来说，因为$h\left( n \right)$一样，所以这两个系统对于同样的输入，就有同样的输出！同样的输入有同样的输出，这两个系统就一样吗？这个是个哲学问题。我们一般认为，如果看上去像鸭子，吃起来像鸭子，叫声像鸭子，它就是鸭子。)

换句话说，$h\left( n \right)$就是一个LTI系统唯一的标识！一个LTI系统所有的特点就集中$h\left( n \right)$里面。

3、卷积的计算

那么如何计算$x\left[ n \right] *h\left[ n \right]$呢？

3.1列表法

首先，确定$y\left[ n \right] =x\left[ n \right] *h\left[ n \right]$取值范围