第一章

信号与系统是“数字信号处理”和“自动控制原理”，“现代控制理论”的前导课程。

教材：奥本海默的信号与系统第二版。

学习目的：为了衔接控制领域的课程。

参考的教学视频链接here

我看下来，本章的重点内容就是讲述了正弦信号和一般复指数信号在连续时间和离散时间下的异同。

了解一些一般的信号，在未来的章节中我们会利用这些一般信号，根据线性时不变系统的性质去组成别的信号。

一、正弦信号周期性差异

离散和连续的正弦信号以及一般复指数信号在信号与系统中的差异主要体现在以下几个方面：

1.连续信号的 $\omega$ 越大，则信号震荡速度越快。但是离散信号不是的，它呈周期性变化。

2.连续周期信号，离散后可能不是周期的。

1.连续正弦信号:

连续正弦信号 $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$ 一定是周期信号，其周期 T_0 = $\frac{2\pi}{\omega_0}$ 仅需满足频率 $\omega_0 \neq 0$ 。例如， $\cos(2\pi t)$ 的周期为1秒。

如上图所示，

A

为幅值，

\omega_0

为频率，

\phi

是相位

Important
这里有一个"时移"和“相移”的概念。例如对于 $cos(2t)$ 来说，时移t0的话就是 $cos(2(t-t_0)$ ，但是它的相移是 $2t_0$ ，因为 $cos(2(t-t_0)=cos(2t-2t_0)$

2.离散正弦信号:

离散正弦信号 $x[n] = A\cos(\omega_0 n + \phi)$ 不一定是周期的。只有当数字频率 $\Omega_0 与 2\pi$ 的比值为有理数（即 $\frac{\Omega_0}{2\pi} = \frac{m}{N}$ ，其中 $m$ , $N$ 为互质整数）时，信号才具有周期性，基波周期为 $N$ ；否则为非周期信号。例如， $\cos(0.2\pi n)$ 是周期的，而 $\cos(2n)$ 是非周期的。

为什么会这样？我们知道正弦函数是有周期的，而且周期为 $2\mathrm{k\pi}$ 。也就是说对于连续的时间信号， $x(t) = \cos(\omega_0 t+ \phi)=\cos(\omega_0 t + 2k\pi+ \phi)$ 。这里的意思就是相移 $2\mathrm{k\pi}$ ，正弦信号保持不变。

那么这个对于离散的正弦信号 $x[n] = A\cos(\omega_0 n + \phi)$ 还成立吗？

因为这个序列是离散的，n必须是整数。所以 $\omega_0 n$ 可能不等于 $2k\pi$ （K也必须是整数）

例如 $\cos(2n)$ ，它只能取2，4，6，8...这些值，但是这些值永远无法凑出 $2k\pi$ (k是整数)

所以离散的正弦信号不一定是周期的。

连续周期信号，它的离散不一定是周期的。这个结论有点反直觉。

二、正弦信号ω变化时的差异

连续的周期信号随着 $\omega_0$ 的增加，基波周期会越来越小。

但是离散周期信号不会。如果超过2π就会呈周期性变化，如下图。

因为离散周期信号里n为整数，然后它本身又是周期信号，所以最后超出的 $2k\pi$ 部分是可以被 $\omega_0 n$ 表示，然后转换的。而连续信号t，它里面除了等于整数的那些点，其他的部分无法满足 $2k\pi$ = $\omega_0 t$ ，所以自然不会呈周期性变化，而是频率越来越快。

换一个角度，我们可以看上面的这张图片，也可以用图形化的方式解释这个现象。这个现象也是挺反直觉的。

三、复指数信号的形式与参数影响

Important
连续复指数一般用 $x(t) = C e^{at}$ 表示，离散用 $x[n] = C \alpha^n$ 表示

1. 连续复指数信号

实指数信号 $x(t) = C e^{at}$ ：当 $a$ 为实数时， $a > 0$ 呈指数增长， $a < 0$ 呈指数衰减

周期复指数信号：当 $a = j\omega_0$ （纯虚数），信号为 $e^{j\omega_0 t}$ ，对应连续正弦信号的复数形式，具有周期性。

这里引入了虚数的单位。

(我们需要对复数的本质有一定了解，知道为什么有实数，为什么有虚数。例如 $e^{j\omega_0 t}$ 。理解这个数字不能朴素按照次方的思路去解释，例如 $e^{n}$ 就等于e*e这个操作进行了n次。但是 $e^{j\omega_0 t}$ 不是这样子理解的，实际上这个是在复平面上按照角速度 $\omega_0$ 做旋转。关于这部分的理解可以参考3BlueBrown的视频here)

一般复指数信号：若 $a = r + j\omega_0$ ，则信号为 $e^{r t} e^{j\omega_0 t}$ ，表现为振幅按指数增长（ $\sigma > 0$ ）或衰减（ $\sigma < 0$ ）的正弦振荡。PS:它实部或虚部的图像如下所示：

1. 离散复指数信号

形式为 $x[n] = C \alpha^n$ (离散这个表达式更加方便)，其中 $\alpha$ 为复数。根据 $\alpha$ 的模长和相位：

实指数序列：若 $\alpha$ 为实数， $|\alpha| > 1$ 时序列单调增长， $0 < |\alpha| < 1$ 时单调衰减， $\alpha < 0$ 时符号交替变化。

周期复指数序列：若 $\alpha = e^{j\Omega_0}$ ，则 $x[n] = e^{j\Omega_0 n}$ ，其周期性与离散正弦信号的条件一致，需满足 $\frac{\Omega_0}{2\pi}$ 为有理数。
一般复指数序列：若 $\alpha = r e^{j\Omega_0}$ ，则表现为振幅按 $r^n$ 增长（ $r > 1$ ）或衰减（ $r < 1$ ）的正弦振荡。